Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice:
Sea una función f(x) que cumple:
- Es continua en el intervalo [a,b]
- Es derivable en el intervalo (a,b)
- f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f’(c) = 0.
Es decir, si la función cumple las condiciones existe un punto en el intervalo que tiene tangente horizontal.
Ejemplo:
Dada la función:
Comprobar que se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [-4,1].
Condiciones:
f(x) tiene que ser continua en [-4,1], que lo es por ser polinómica.
f(x) tiene que ser derivable en (-4,1), que lo es por ser polinómica.
f(-4) = 0
f(1) = 0
Por lo que f(-4) = f(1).
Entonces, por el teorema de Rolle, existe un punto c tal que f’(c) = 0.
Por conocimiento, vamos a ver cuál es ese punto:
f’(x) = 2x + 3.
Así, buscamos un c tal que f’(c) = 0 →
f’(c) = 0 → 2·c + 3 = 0 → c = -3/2.
Luego c= -3/2 es un punto que tiene tangente horizontal.
Como aplicación del teorema, si tenemos un punto que tiene tangente horizontal, entonces lo que tenemos es un extremo relativo (máximo o mínimo), es decir, si se cumplen las condiciones del teorema se puede asegurar que la función tiene al menos un extremo en ese intervalo.