Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Plano inclinado 1
En este apartado vamos a ver la definición y las primeras explicaciones para cómo enfrentarnos a un problema de plano inclinado.
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Un plano inclinado es una situación donde tenemos un cuerpo en una superficie que tiene un ángulo (α), y éste cuerpo caerá o subirá según las fuerzas que se ejercen sobre él.
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Es decir, estamos ante la siguiente situación:
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En este momento, vamos a olvidarnos del rozamiento por el momento, y veamos las fuerzas que se ejercen en la figura:
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Tenemos por un lado el P (peso) del cuerpo, y además la fuerza Normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo.
Pero ahora tenemos un problema, y es que según vemos, el desplazamiento de la figura se hará en un eje que depende del ángulo, por lo que ese peso se tiene que descomponer según ese eje.
Si vemos el eje de desplazamiento:
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Para poder realizar los cálculos, hay que descomponer el peso P en Px y Py (peso en el eje X y peso en el eje Y), veamos primero el dibujo y después veamos cómo calcularlos:
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En este momento, hay que utilizar la semejanza de ángulos para entender que, en este caso, el ángulo α tal y como lo vemos, es el mismo ángulo que está entre P y Py.
Veamos el dibujo:
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y de ahí se obtienen las fórmulas:
Px = P · sen (α)
Py = P · cos (α)
Una vez que vemos cómo actúan los pesos, ya podemos continuar con el problema.
En estos problemas, lo que se suele hacer es separar en 2, ya que tenemos por un lado el eje X y por otro lado el eje Y.
En el eje X es donde se produce el movimiento, por lo que en general habrá que aplicar la fórmula:
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Y podremos calcular la aceleración del sistema (o el dato que nos pidan).
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En el eje Y no hay desplazamiento (no se mueve hacia arriba o abajo según nuestro eje, por lo que hay que aplicar la fórmula:
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En general, el eje Y se utiliza para calcular la fuerza normal (recordamos aquí la definición) a partir del Py y así a posteriori podremos calcular la fuerza de rozamiento cuando esté.
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Veamos un ejemplo:
Calcular los pesos y la aceleración del siguiente sistema:
donde el ángulo α es de 60º y la masa del cuerpo 1 es de 15 kg.
Veamos las fuerzas que tenemos:
Por lógica entendemos que el movimiento es hacia la derecha (cae por el eje).
Calculamos los pesos:
P = 15 · 9,8 = 147 N.
Px = P · sen (60) = 147 · 0,87 = 127,89 N.
Py = P · cos (60) = 147 · 0,5 = 73,5 N.
Así tenemos lo siguiente:
En el eje Y (no hay movimiento):
Hay 2 fuerzas, Py y N (normal), por lo que como la suma es igual a cero:
N - Py = 0 → N = Py → N = 73,5 N. (no confundir la fuerza Normal N con las unidades Newtons N).
En el eje X (si hay movimiento):
Tenemos 1 fuerza Px (que además va en el sentido del movimiento, luego es positiva):
Px = m · a
Luego podemos calcular la aceleración:
127,89 = 15 · a
Pasamos el 15 dividiendo y operamos:
a = 8,52 m/sg2.
Veamos la situación si añadimos el rozamiento (se va a ver mediante un ejemplo):
En una pendiente de 30º hay una caja de 30 kg, si el coeficiente de rozamiento es de 0,15, ¿qué aceleración tiene la caja?
Tenemos el siguiente esquema:
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La dirección del movimiento es hacia la derecha (ya que cae hacia ese lado).
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Tenemos los siguientes datos:
P = 30 · 9,8 = 294 N.
A partir de éste, obtenemos Px y Py:
Px = 294 · sen(30) = 149 N.
Py = 294 · cos(30) = 255,78 N.
μ = 0,15.
Así:
En el eje Y:
N - Py = 0 → Py = N → N = 255,78 N.
Una vez que sabemos la normal, podemos calcular la fuerza de rozamiento (recordamos aquí cómo se calcula).
Fr = μ · N = 0,15 · 255,78 = 38,37 N.
En el eje X:
Como el movimiento es hacia la derecha, será positiva el Px y negativa la Fr (recordamos que la Fr siempre va en sentido contrario al movimiento):
Px - Fr = m · a
149 - 38,37 = 30 · a
110,63 = 30 · a
a = 3,69 m/sg2.
La aceleración de la caja es de 3,69 m/sg2.
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