Razones trigonométricas (seno, coseno, tangente...)

Razones trigonométricas

Seno coseno y tangente:

Veremos cómo obtener el seno, coseno y la tangente de un ángulo, para ello, vamos a ver cómo se denotan los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo con ángulos α y β, hipotenusa h y cateto de la altura Ca y cateto de la base Cb:

entonces tenemos las siguientes definiciones:

Es decir,

El seno de un ángulo se define como el lado opuesto entre la hipotenusa.

El coseno de un ángulo se define como el lado contiguo entre la hipotenusa. (aquí se puede recordar al coco (coseno - contiguo).

La tangente de un ángulo es el seno entre coseno, o también, el cateto opuesto entre el cateto contiguo.

Nota importante: al ser la hipotenusa siempre mayor que los catetos, tanto el seno como el coseno va a tener un valor comprendido entre -1 y 1. (veremos en el signo en la circunferencia trigonométrica).

Inversos de las funciones:

Se define la inversa del sen (α) como cosecante de α: cosec(α)

Se define la inversa del cos(α) como secante de α: sec(α)

Se define la inversa de la tg (α) como cotangente de α: cotg(α)

al ser las inversas, también se pueden calcular directamente del triángulo inicial:

A todas estas funciones (las normales y las inversas) se les suele denominar “razones trigonométricas”.

Ojo, no confundir la función inversa que estamos tratando (en la que se hace 1/sen α) con las funciones arco (arcsen α, arccos α y arctg α, que se verán en otro apartado), que lo que dan es el ángulo que tiene dicha razón trigonométrica.

Notaciones y puntualizaciones:

Ángulos: el ángulo se puede poner o no entre paréntesis, no siendo habitual ponerlo, es decir, es lo mismo sen (α) que sen α, pero es más habitual no escribir el paréntesis.

Potencias: para indicar que estamos ante una potencia de una razón trigonométrica, el exponente se suele poner entre la razón y el ángulo, es decir:

y así con todos, y con todas sus potencias.

El seno de un ángulo, se puede denotar también como sin α (de hecho, en todas las calculadoras ya viene así).

La tangente de un ángulo, se puede denotar también como tan α.

Circunferencia trigonométrica:

Se trata de una circunferencia de radio 1, en la que se pueden ver las relaciones entre el seno y el coseno de un ángulo o de diferentes ángulos.

Tiene el eje de coordenadas en el centro, por lo que lo que esté a la derecha en el eje X será positivo y lo que esté a la izquierda será negativo, y lo mismo pasa en el eje Y, lo que esté arriba positivo y lo que esté abajo negativo.

Para la relación de los ángulos, partiremos del origen de coordenadas y pondremos un ángulo que delimitará la hipotenusa, la parte que “sube” el triángulo será el seno y lo que se desplaza a derecha o izquierda será el coseno del ángulo, lo vemos mediante un ejemplo para un ángulo α:

En este momento, se puede pensar que un ángulo superior a 90º (π/2 rad) tendrá un coseno negativo, al estar en la parte izquierda de la circunferencia, efectivamente es así, el cos(100º) = -0,17.

El seno al seguir estando hacia arriba sigue siendo positivo (sen100º = 0,98).

Veamos la circunferencia en este caso:

El mismo pensamiento nos lleva a razonar qué pasa en un ángulo superior a 180º, en este caso ambos (seno y coseno) serán negativas, ya que el coseno está a la izquierda y el seno está hacia abajo, como se ve al calcularlos de 210º:

cos(210º) = -0,86.

sen(210º) = -0,5.

Veamos la circunferencia en este caso:

Y ya por último habrá que ver un ángulo superior a 270º, en este caso el coseno será positivo, pues ya ha vuelto a estar a la derecha del eje, pero el seno será negativo ya que se mantiene por debajo, como se ve al calcularlos de 300º:

cos(300º) = 0,5.

sen(300º) = -0,86.

Veamos la circunferencia en este caso: